典型例题31-数学归纳法解题
数学归纳法是一种重要的证明方法，在解决许多数学问题时都发挥着关键作用。它通过两个步骤来验证命题是否对所有正整数成立：首先验证基础情形，然后假设某个特定情况成立，并利用此假设证明下一个情况也成立。
在这一章节中，我们将探讨一个具体的例子，展示如何使用数学归纳法解决问题。假设我们需要证明如下不等式：
对于任意正整数 $ n \geq 2 $，有：
$$
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln(n)
$$
第一步：验证基础情形
当 $ n = 2 $ 时，左边为：
$$
\frac{1}{2}
$$
右边为：
$$
\ln(2) \approx 0.693
$$
显然，$ \frac{1}{2} < \ln(2) $，因此基础情形成立。
第二步：假设假设情形
假设当 $ n = k $ 时，不等式成立，即：
$$
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} < \ln(k)
$$
第三步：证明 $ n = k+1 $ 的情形
我们需要证明：
$$
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} < \ln(k+1)
$$
根据假设，我们有：
$$
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} < \ln(k)
$$
因此：
$$
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} < \ln(k) + \frac{1}{k+1}
$$
接下来，我们需要证明：
$$
\ln(k) + \frac{1}{k+1} < \ln(k+1)
$$
利用对数的性质，我们知道：
$$
\ln(k+1) - \ln(k) = \ln\left(\frac{k+1}{k}\right) = \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right)
$$
根据对数的近似公式，当 $ x $ 很小时，有 $ \ln(1+x) \approx x $。因此：
$$
\ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) \approx \frac{1}{k}
$$
而：
$$
\frac{1}{k+1} < \frac{1}{k}
$$
所以：
$$
\ln(k) + \frac{1}{k+1} < \ln(k) + \frac{1}{k} < \ln(k+1)
$$
这表明 $ n = k+1 $ 的情形也成立。
结论
通过数学归纳法，我们证明了对于任意正整数 $ n \geq 2 $，有：
$$
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln(n)
$$
这种方法展示了数学归纳法的强大之处，能够帮助我们系统地验证复杂的数学命题。
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