数学归纳法是一种重要的数学证明方法，广泛应用于数列、不等式等领域。它通过两个步骤来完成证明：首先是基础步骤，验证初始条件；其次是归纳步骤，假设某个命题在某一自然数n=k时成立，并以此为基础证明该命题在n=k+1时也成立。下面通过几个典型的例题来具体说明这一方法的应用。

例题一：证明等差数列求和公式

已知等差数列首项为a₁，公差为d，则其前n项和Sₙ可以表示为：

\[ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] \]

我们使用数学归纳法来证明这个公式。

第一步：验证基础情况

当n=1时，显然有：

\[ S_1 = a_1 = \frac{1}{2}[2a_1 + (1-1)d] \]

因此，基础情况成立。

第二步：假设归纳假设

假设当n=k时，公式成立，即：

\[ S_k = \frac{k}{2}[2a_1 + (k-1)d] \]

第三步：证明n=k+1的情况

对于n=k+1，我们有：

\[ S_{k+1} = S_k + a_{k+1} \]

根据归纳假设和等差数列的性质，可以得到：

\[ S_{k+1} = \frac{k}{2}[2a_1 + (k-1)d] + [a_1 + kd] \]

化简后可得：

\[ S_{k+1} = \frac{k+1}{2}[2a_1 + kd] \]

这与公式的形式一致，从而完成了归纳步骤。

例题二：证明整数幂不等式

设p>1，证明对任意正整数n，都有：

\[ (1+x)^n > 1+nx \]

其中x>-1且x≠0。

第一步：验证基础情况

当n=1时，显然有：

\[ (1+x)^1 = 1+x \]

所以基础情况成立。

第二步：假设归纳假设

假设当n=k时，不等式成立，即：

\[ (1+x)^k > 1+kx \]

第三步：证明n=k+1的情况

对于n=k+1，我们有：

\[ (1+x)^{k+1} = (1+x)^k(1+x) \]

利用归纳假设，可以得到：

\[ (1+x)^{k+1} > (1+kx)(1+x) \]

展开并整理后可得：

\[ (1+x)^{k+1} > 1+(k+1)x+kx^2 \]

由于kx²>0（因为x≠0），所以原不等式成立。

通过以上两个例题可以看出，数学归纳法在处理涉及自然数的命题时非常有效。掌握好数学归纳法的关键在于正确地设定基础情况和归纳假设，并合理地进行推导和证明。希望这些例题能帮助大家更好地理解和运用数学归纳法。