在学习统计学的过程中，我们常常会遇到各种各样的问题和挑战。为了帮助大家更好地理解和掌握统计学的基本概念和方法，本文将通过一些典型的统计学题目及其详细解答来为大家提供参考。

首先，让我们来看一个关于数据描述的问题：

例题1：

假设某班级有30名学生，他们的数学考试成绩如下：

78, 85, 67, 92, 88, 76, 81, 90, 84, 79,

83, 89, 75, 86, 91, 80, 87, 77, 82, 93,

74, 85, 88, 76, 90, 81, 84, 79, 83, 89

请计算这组数据的平均数、中位数和标准差。

解答：

1. 平均数（Mean）

平均数是所有数据的总和除以数据的数量。

\[

\text{平均数} = \frac{\sum x_i}{n}

\]

将所有数据相加并除以30得到平均数为：

\[

\text{平均数} = \frac{78 + 85 + ... + 89}{30} = 82.5

\]

2. 中位数（Median）

中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间位置的数值。如果数据个数为偶数，则取中间两个数的平均值。

数据排序后为：

67, 74, 75, 76, 76, 77, 78, 79, 79, 80,

81, 81, 82, 83, 83, 84, 84, 85, 85, 86,

87, 88, 88, 89, 89, 90, 90, 91, 92, 93

中间两个数是第15和第16个数，分别为83和84。因此：

\[

\text{中位数} = \frac{83 + 84}{2} = 83.5

\]

3. 标准差（Standard Deviation）

标准差衡量数据分布的离散程度。公式为：

\[

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}}

\]

其中，\(\mu\)为平均数，\(n\)为数据数量。

计算每个数据与平均数的差的平方，并求和后开方，得到标准差约为：

\[

\sigma \approx 6.5

\]

接下来，我们看一个关于概率分布的问题：

例题2：

某工厂生产的零件长度服从正态分布，平均长度为10厘米，标准差为0.5厘米。求长度在9.5厘米到10.5厘米之间的零件所占比例。

解答：

根据正态分布的性质，我们需要将区间转化为标准正态分布的形式。

设 \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\)，其中 \(X\) 是随机变量，\(\mu = 10\)，\(\sigma = 0.5\)。

当 \(X = 9.5\)，\(Z = \frac{9.5 - 10}{0.5} = -1\)；

当 \(X = 10.5\)，\(Z = \frac{10.5 - 10}{0.5} = 1\)。

查标准正态分布表或使用计算器可得：

\[

P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1) \approx 0.8413 - 0.1587 = 0.6826

\]

因此，长度在9.5厘米到10.5厘米之间的零件所占比例约为68.26%。

以上两个例子展示了统计学中常见的数据分析和概率计算问题。通过这些练习，我们可以更深入地理解统计学的基本原理和应用方法。希望这些题目和解答能够帮助大家在统计学的学习中取得更好的成绩！