在数学学习中，一元二次不等式是一个重要的知识点，它不仅在代数领域有着广泛的应用，同时也是解决实际问题的重要工具。本文将通过几个经典例题，详细解析一元二次不等式的解法和应用。

例题一：基本形式的求解

题目：解不等式 \( x^2 - 5x + 6 < 0 \)。

解析：

1. 首先找到对应的二次方程的根，即 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。

2. 利用因式分解法，可得 \( (x - 2)(x - 3) = 0 \)，所以根为 \( x = 2 \) 和 \( x = 3 \)。

3. 根据二次函数的图像性质，开口向上（因为二次项系数为正），可知不等式 \( x^2 - 5x + 6 < 0 \) 的解集为 \( 2 < x < 3 \)。

答案：\( x \in (2, 3) \)

例题二：含参数的讨论

题目：解关于 \( x \) 的不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \)，其中 \( a > 0 \)。

解析：

1. 首先判断判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \) 的符号。

- 若 \( \Delta > 0 \)，则方程有两个不同实根，不等式的解集取决于 \( a \) 的正负。

- 若 \( \Delta = 0 \)，则方程有一个重根，解集需具体分析。

- 若 \( \Delta < 0 \)，则方程无实根，根据 \( a > 0 \)，整个实数范围均满足条件。

2. 具体计算时，结合具体数值进行讨论。

答案：需根据 \( \Delta \) 的值进一步细分讨论。

例题三：实际应用问题

题目：某工厂生产某种产品，成本函数为 \( C(x) = 2x^2 - 8x + 10 \)，售价为每件 10 元。问产量 \( x \) 在什么范围内能使利润大于零？

解析：

1. 利润函数 \( P(x) = 10x - C(x) = 10x - (2x^2 - 8x + 10) = -2x^2 + 18x - 10 \)。

2. 解不等式 \( -2x^2 + 18x - 10 > 0 \)。

3. 化简后得到 \( 2x^2 - 18x + 10 < 0 \)，即 \( x^2 - 9x + 5 < 0 \)。

4. 求解二次方程 \( x^2 - 9x + 5 = 0 \)，利用求根公式可得两根。

5. 结合图像性质，确定利润大于零的区间。

答案：需根据具体求根结果确定。

通过以上三个例题，我们可以看到一元二次不等式的解法灵活多样，需要根据具体情况选择合适的方法。希望这些例题能帮助大家更好地掌握这一知识点。