在大学数学课程中，线性代数是一门基础而重要的学科，广泛应用于工程、物理、计算机科学、经济学等多个领域。为了帮助学生更好地掌握这门课程的核心内容，本文整理了一份完整的线性代数试题套卷，并附有详细的参考答案，供学习和复习使用。

一、选择题（每题3分，共15分）

1. 设矩阵 A 是一个 3×3 的方阵，且其行列式 |A| = 0，则下列说法正确的是（ ）

A. A 是可逆矩阵

B. A 的秩为 3

C. A 的列向量线性相关

D. A 的特征值全为零

2. 向量组 α₁ = (1, 2, 3), α₂ = (2, 4, 6), α₃ = (3, 6, 9) 的极大无关组的个数是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

3. 若矩阵 A 满足 A² = A，则 A 的可能特征值为（ ）

A. 0 和 1

B. 0 和 -1

C. 1 和 -1

D. 2 和 0

4. 下列矩阵中，属于正交矩阵的是（ ）

A. [[1, 0], [0, 1]]

B. [[1, 1], [1, 0]]

C. [[0, 1], [-1, 0]]

D. [[2, 0], [0, 1]]

5. 设向量空间 V 的维数为 n，W 是 V 的子空间，则 W 的维数（ ）

A. 大于 n

B. 等于 n

C. 小于等于 n

D. 无法确定

二、填空题（每题4分，共20分）

6. 设矩阵 A = [[1, 2], [3, 4]]，则 A 的迹为 ________。

7. 向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则 a · b = ________。

8. 若矩阵 A 的特征多项式为 λ² - 5λ + 6，则其特征值为 ________。

9. 设向量组 α₁, α₂, α₃ 线性无关，若 β = α₁ + 2α₂ + 3α₃，则 β 可由该向量组 ________ 表示。

10. 设 A 是一个 n 阶正定矩阵，则 A 的所有主子式都 ________。

三、计算题（每题10分，共30分）

11. 计算行列式：

| 123 |

| 456 |

| 789 |

12. 已知矩阵 A = [[1, 2], [3, 4]]，求 A 的逆矩阵 A⁻¹。

13. 求矩阵 A = [[2, 1], [1, 2]] 的特征值与对应的特征向量。

四、证明题（每题10分，共20分）

14. 证明：若矩阵 A 是对称矩阵，则 A 的不同特征值对应的特征向量正交。

15. 设 V 是一个向量空间，W₁ 和 W₂ 是 V 的两个子空间，证明：W₁ ∪ W₂ 不一定是 V 的子空间。

五、应用题（15分）

16. 在图像处理中，常将图像表示为矩阵形式。设有一张灰度图像用 2×2 的矩阵表示如下：

[[100, 150],

[200, 250]]

现对其进行某种线性变换，变换后的矩阵为：

[[120, 180],

[240, 300]]

试求出该线性变换所对应的矩阵 M。

参考答案

一、选择题

1. C

2. B

3. A

4. A、C

5. C

二、填空题

6. 5

7. 32

8. 2 和 3

9. 线性组合

10. 大于 0

三、计算题

11. 0

12. A⁻¹ = [[-2, 1], [3/2, -1/2]]

13. 特征值为 3 和 1；对应的特征向量分别为 (1, 1) 和 (-1, 1)

四、证明题

14. 证明略（利用对称矩阵的性质与内积定义）

15. 举反例说明 W₁ ∪ W₂ 不满足封闭性即可

五、应用题

16. M = [[1.2, 1.2], [1.2, 1.2]] 或类似线性变换矩阵

通过这份试题套卷的练习，考生可以全面检验自己在线性代数方面的理解与运用能力。建议结合教材与习题集进行系统复习，以提升解题技巧与逻辑思维能力。