【《概率论与数理统计》课后习题答案2】在学习《概率论与数理统计》这门课程时，课后习题是巩固知识、提升解题能力的重要环节。为了帮助同学们更好地理解和掌握相关知识点，以下是一些典型习题的解答过程和思路分析，供参考。
第1题：
设随机变量 $ X $ 服从参数为 $ \lambda $ 的泊松分布，求 $ E(X^2) $。
解：
泊松分布的期望 $ E(X) = \lambda $，方差 $ D(X) = \lambda $。
由于 $ E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 $，代入得：
$$
E(X^2) = \lambda + \lambda^2
$$
第2题：
设 $ X $ 和 $ Y $ 是两个独立的随机变量，其分布分别为 $ N(0,1) $ 和 $ N(1,4) $，求 $ E(2X - Y + 3) $。
解：
利用期望的线性性质：
$$
E(2X - Y + 3) = 2E(X) - E(Y) + 3 = 2 \times 0 - 1 + 3 = 2
$$
第3题：
设随机变量 $ X $ 的概率密度函数为：
$$
f(x) =
\begin{cases}
kx(1 - x), & 0 < x < 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
求常数 $ k $ 的值，并计算 $ P(X > 0.5) $。
解：
首先由概率密度函数的归一性条件：
$$
\int_0^1 kx(1 - x) \, dx = 1
$$
计算积分：
$$
k \int_0^1 x(1 - x) \, dx = k \int_0^1 (x - x^2) \, dx = k \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = k \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = k \cdot \frac{1}{6}
$$
因此：
$$
k \cdot \frac{1}{6} = 1 \Rightarrow k = 6
$$
接下来计算 $ P(X > 0.5) $：
$$
P(X > 0.5) = \int_{0.5}^1 6x(1 - x) \, dx = 6 \int_{0.5}^1 (x - x^2) \, dx
$$
$$
= 6 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0.5}^1 = 6 \left( \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{0.25}{2} - \frac{0.125}{3} \right) \right)
$$
$$
= 6 \left( \frac{1}{6} - \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{24} \right) \right) = 6 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{12} \right) = 6 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{2}
$$
第4题：
设 $ X_1, X_2, \dots, X_n $ 是来自正态总体 $ N(\mu, \sigma^2) $ 的一个简单随机样本，试证明样本均值 $ \bar{X} $ 服从 $ N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) $。
证：
由于 $ X_i \sim N(\mu, \sigma^2) $，且相互独立，则样本均值：
$$
\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i
$$
是一个正态分布的线性组合，故 $ \bar{X} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) $。
以上内容为《概率论与数理统计》部分课后习题的参考答案及解析，旨在帮助学生理解基本概念和解题方法。建议在学习过程中多加练习，结合教材和笔记进行深入思考，以提高逻辑思维和数学建模能力。
