【高中数学等差数列前n项和公式】在高中数学的学习过程中，等差数列是一个非常重要的知识点，而等差数列的前n项和公式则是解决相关问题的核心工具之一。掌握这一公式不仅有助于理解数列的基本性质，还能在实际问题中灵活运用。
一、什么是等差数列？
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差都相等的数列。这个固定的差值称为“公差”，通常用字母d表示。例如：1, 3, 5, 7, 9……就是一个公差为2的等差数列。
等差数列的一般形式可以表示为：
$$
a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, \ldots, a_1 + (n-1)d
$$
其中，$a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。
二、等差数列前n项和的推导
等差数列的前n项和公式是通过观察数列的对称性来推导的。假设我们有如下等差数列：
$$
a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n
$$
其和记作 $S_n$，即：
$$
S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n
$$
我们可以将这个数列倒过来写一遍：
$$
a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots, a_1
$$
然后将这两个数列相加：
$$
S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n \\
S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_1
$$
将两式相加：
$$
2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + (a_3 + a_{n-2}) + \cdots + (a_n + a_1)
$$
由于等差数列的性质，任意两项 $a_i + a_{n-i+1}$ 的和都是相同的，等于 $a_1 + a_n$。因此，总共有n个这样的和，所以：
$$
2S_n = n(a_1 + a_n)
$$
两边同时除以2，得到：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
三、利用通项公式简化表达式
我们知道等差数列的第n项可以表示为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
将其代入前n项和公式中：
$$
S_n = \frac{n}{2}[a_1 + a_1 + (n - 1)d] = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]
$$
这就是等差数列前n项和的另一种常见表达方式。
四、应用实例
例题： 求等差数列1, 4, 7, 10, 13的前5项和。
解法：
已知 $a_1 = 1$，$d = 3$，$n = 5$
使用公式：
$$
S_5 = \frac{5}{2}[2 \times 1 + (5 - 1) \times 3] = \frac{5}{2}[2 + 12] = \frac{5}{2} \times 14 = 35
$$
也可以直接计算：
$$
1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35
$$
结果一致，说明公式正确。
五、总结
等差数列的前n项和公式是解决数列求和问题的重要工具，其核心思想是利用数列的对称性和通项公式进行推导。掌握这一公式不仅能提高解题效率，还能加深对等差数列本质的理解。在今后的学习中，同学们应多加练习，熟练运用这一公式解决实际问题。
