【泊松分布的分布律】泊松分布是概率论中一种重要的离散型概率分布，常用于描述在一定时间或空间内随机事件发生次数的概率模型。它适用于事件发生的概率较低且独立的情况，例如电话呼叫次数、放射性物质的衰变次数、顾客到达商店的数量等。
泊松分布由一个参数λ（lambda）决定，该参数表示单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。当λ已知时，可以计算出不同事件次数k（k=0,1,2,...）出现的概率。
一、泊松分布的定义
设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记作X ~ P(λ)，则其概率质量函数（即分布律）为：
$$
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots
$$
其中：
- $ e $ 是自然对数的底（约等于2.71828）
- $ \lambda > 0 $ 是泊松分布的参数，表示期望值和方差
- $ k $ 是非负整数，表示事件发生的次数
二、泊松分布的性质
1. 期望与方差相等：对于泊松分布，其期望值E(X) = λ，方差Var(X) = λ。
2. 可加性：若X ~ P(λ₁)，Y ~ P(λ₂)，且X与Y独立，则X + Y ~ P(λ₁ + λ₂)。
3. 极限形式：泊松分布是二项分布的一种极限形式，当n很大而p很小，且np = λ时，二项分布B(n,p)近似于泊松分布P(λ)。
三、泊松分布的分布律表格
| 事件次数 $ k $ | 概率 $ P(X = k) $ |
| 0 | $ \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} = e^{-\lambda} $ |
| 1 | $ \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = \lambda e^{-\lambda} $ |
| 2 | $ \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{\lambda^2}{2} e^{-\lambda} $ |
| 3 | $ \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!} = \frac{\lambda^3}{6} e^{-\lambda} $ |
| 4 | $ \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} = \frac{\lambda^4}{24} e^{-\lambda} $ |
| ... | ... |
四、实际应用举例
假设某医院急诊科平均每小时有3位患者到达，那么可以用泊松分布来计算某一小时内恰好有2位患者到达的概率：
$$
P(X = 2) = \frac{e^{-3} \cdot 3^2}{2!} = \frac{9}{2} e^{-3} \approx 0.224
$$
这说明在每小时平均3人到达的情况下，恰好有2人到达的概率约为22.4%。
五、总结
泊松分布是一种描述稀有事件在固定时间内发生次数的概率模型，具有简单易用、计算方便的特点。通过了解其分布律，可以更好地理解事件发生的概率规律，并应用于实际问题的建模与分析。
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