在材料力学和结构工程中，强度理论是用于判断材料或结构在不同应力状态下是否会失效的重要工具。不同的强度理论适用于不同的材料和受力条件。以下是四种常见的强度理论及其对应的公式。

1. 第一强度理论（最大拉应力理论）

第一强度理论认为，材料的破坏是由最大拉应力引起的。也就是说，当材料中的某个点的最大拉应力达到其单向拉伸时的极限强度时，材料就会发生破坏。

公式：

\[ \sigma_1 = \sigma_{ut} \]

其中：

- \(\sigma_1\) 是主应力中的最大值。

- \(\sigma_{ut}\) 是材料的单向拉伸极限强度。

2. 第二强度理论（最大拉应变理论）

第二强度理论假设材料的破坏是由最大拉应变引起的。根据胡克定律，材料的应变与应力成正比，因此该理论认为当最大拉应变达到某一临界值时，材料就会失效。

公式：

\[ \varepsilon_1 = \frac{\sigma_{ut}}{E} \]

其中：

- \(\varepsilon_1\) 是主应变中的最大值。

- \(E\) 是材料的弹性模量。

3. 第三强度理论（最大剪应力理论）

第三强度理论由格里菲斯提出，认为材料的破坏是由最大剪应力引起的。该理论指出，当最大剪应力达到材料的单向剪切极限强度时，材料会发生破坏。

公式：

\[ \tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} = \tau_{ut} \]

其中：

- \(\tau_{max}\) 是最大剪应力。

- \(\sigma_1\) 和 \(\sigma_3\) 分别为主应力中的最大值和最小值。

- \(\tau_{ut}\) 是材料的单向剪切极限强度。

4. 第四强度理论（畸变能密度理论）

第四强度理论也称为畸变能密度理论，由米泽斯提出。该理论认为材料的破坏是由畸变能密度引起的。畸变能密度是指单位体积内的畸变能，它与材料的塑性变形有关。

公式：

\[ \sqrt{\frac{3}{2} J_2} = \sigma_{ut} \]

其中：

- \(J_2\) 是应力偏张量的第二不变量。

- \(\sigma_{ut}\) 是材料的单向拉伸极限强度。

这四种强度理论各有其适用范围和局限性，在实际应用中需要根据具体的材料特性和加载条件选择合适的理论进行分析和设计。通过理解这些理论及其公式，工程师可以更好地预测和防止材料或结构的失效，从而提高工程的安全性和可靠性。