在概率论和数理统计中，瑞利分布是一种常见的连续概率分布，广泛应用于通信工程、信号处理以及物理学等领域。本文将详细探讨瑞利分布在概率密度函数（PDF）下的期望值和方差的推导过程。

瑞利分布的基本定义

假设随机变量 \( X \) 的概率密度函数为：

\[ f_X(x) = \frac{x}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}, \quad x \geq 0, \]

其中 \( \sigma > 0 \) 是尺度参数。这一分布通常用于描述二维独立正态随机变量模长的分布情况。

期望值的推导

根据数学期望的定义，随机变量 \( X \) 的期望值 \( E[X] \) 可以表示为：

\[ E[X] = \int_{0}^{\infty} x \cdot f_X(x) \, dx. \]

将 \( f_X(x) \) 的表达式代入上述积分中，我们得到：

\[ E[X] = \int_{0}^{\infty} x \cdot \frac{x}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx. \]

化简后变为：

\[ E[X] = \frac{1}{\sigma^2} \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx. \]

为了简化计算，令 \( u = \frac{x^2}{2\sigma^2} \)，则 \( du = \frac{x}{\sigma^2} dx \)，并且当 \( x \to 0 \) 时 \( u \to 0 \)，当 \( x \to \infty \) 时 \( u \to \infty \)。因此，积分可以转换为：

\[ E[X] = \sqrt{2} \sigma \int_{0}^{\infty} u^{1/2} e^{-u} \, du. \]

注意到右边的积分是伽马函数 \( \Gamma(\frac{3}{2}) \)，其值为 \( \Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \)。因此，最终得到：

\[ E[X] = \sqrt{2} \sigma \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}. \]

方差的推导

接下来我们计算方差 \( Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 \)。首先计算 \( E[X^2] \)：

\[ E[X^2] = \int_{0}^{\infty} x^2 \cdot f_X(x) \, dx. \]

同样代入 \( f_X(x) \) 的表达式，得到：

\[ E[X^2] = \int_{0}^{\infty} x^2 \cdot \frac{x}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, dx. \]

类似地，通过变量替换 \( u = \frac{x^2}{2\sigma^2} \)，可以得出：

\[ E[X^2] = 2\sigma^2 \int_{0}^{\infty} u e^{-u} \, du. \]

右边的积分同样是伽马函数 \( \Gamma(2) \)，其值为 \( \Gamma(2) = 1 \)。因此：

\[ E[X^2] = 2\sigma^2. \]

结合 \( E[X] = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}} \)，我们可以求得方差：

\[ Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 2\sigma^2 - (\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}})^2. \]

进一步化简得：

\[ Var(X) = 2\sigma^2 - \sigma^2 \frac{\pi}{2} = \sigma^2 \left( 2 - \frac{\pi}{2} \right). \]

结论

综上所述，瑞利分布的期望值和方差分别为：

\[ E[X] = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}, \]

\[ Var(X) = \sigma^2 \left( 2 - \frac{\pi}{2} \right). \]

这些结果对于理解和应用瑞利分布在实际问题中的表现具有重要意义。