点积（内积）的坐标表示

假设我们有两个三维向量 \(\mathbf{A} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\mathbf{B} = (b_1, b_2, b_3)\)，它们的点积定义为：

\[

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

\]

点积的结果是一个标量值，它反映了两个向量之间的相似程度。具体来说，如果点积结果为正，则说明两向量夹角小于90度；若为负，则大于90度；若为零，则说明两向量垂直。

点积的一个重要应用是在投影计算中。例如，向量 \(\mathbf{A}\) 在向量 \(\mathbf{B}\) 上的投影长度可以表示为：

\[

\text{Proj}_{\mathbf{B}}\mathbf{A} = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\|\mathbf{B}\|}

\]

其中 \(\|\mathbf{B}\|\) 表示向量 \(\mathbf{B}\) 的模长。

叉积（外积）的坐标表示

对于同一个三维向量组 \(\mathbf{A} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\mathbf{B} = (b_1, b_2, b_3)\)，它们的叉积定义为一个新的向量 \(\mathbf{C} = \mathbf{A} \times \mathbf{B}\)，其分量可以通过行列式展开得到：

\[

\mathbf{C} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

\]

这里，\(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 分别代表沿 x、y、z 轴方向的单位向量。叉积的结果仍然是一个三维向量，并且该向量垂直于原两个向量所在的平面。

叉积的一个关键特性是其大小等于以这两个向量为邻边的平行四边形面积，即：

\[

\|\mathbf{A} \times \mathbf{B}\| = \|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\| \sin\theta

\]

其中 \(\theta\) 是向量 \(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{B}\) 之间的夹角。

结论

综上所述，向量相乘的两种基本形式——点积和叉积，各自具有独特的数学表达式和实际意义。理解这些公式的背后逻辑不仅有助于解决复杂的几何问题，还能广泛应用于物理、工程等领域。希望本文能够帮助读者更好地掌握向量相乘的相关知识！