在数学中，平面向量是一个重要的概念，它可以帮助我们描述二维空间中的方向和大小。平面向量由两个主要元素组成：模长（即向量的长度）和方向。下面我们来详细了解一下平面向量的相关公式，并通过具体的例子进行说明。

一、基本公式

1. 向量的表示

一个平面向量可以表示为 \(\vec{v} = (x, y)\)，其中 \(x\) 和 \(y\) 分别是向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

2. 向量的模长

向量的模长公式为：

\[

|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}

\]

这个公式用于计算向量的长度。

3. 向量的加法

两个向量相加时，只需将对应分量相加：

\[

\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)

\]

4. 向量的减法

向量相减时，同样是对应分量相减：

\[

\vec{u} - \vec{v} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)

\]

5. 向量的数量积（点积）

向量的数量积公式为：

\[

\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2

\]

数量积的结果是一个标量，常用于判断两向量是否垂直（当结果为零时，两向量垂直）。

二、举例说明

例1：计算向量的模长

设 \(\vec{v} = (3, 4)\)，求其模长。

\[

|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

\]

例2：向量的加法

设 \(\vec{u} = (2, 3)\) 和 \(\vec{v} = (4, 1)\)，求 \(\vec{u} + \vec{v}\)。

\[

\vec{u} + \vec{v} = (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4)

\]

例3：向量的数量积

设 \(\vec{u} = (1, 2)\) 和 \(\vec{v} = (3, -1)\)，求 \(\vec{u} \cdot \vec{v}\)。

\[

\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + 2 \times (-1) = 3 - 2 = 1

\]

通过以上公式和实例，我们可以更好地理解和应用平面向量的概念。希望这些内容对你有所帮助！