在数学分析领域，积分中值定理是研究函数性质和计算积分的重要工具之一。而作为其扩展形式的第二积分中值定理，则进一步揭示了积分与函数值之间的关系。本文将尝试以直观且严谨的方式，给出第二积分中值定理的完整证明。

引言

第二积分中值定理是基于第一积分中值定理的一个自然推广。它指出，在特定条件下，函数在一个闭区间上的积分可以被表示为该区间内某一点处函数值的线性组合。这一结论不仅在理论上有重要意义，而且在实际应用中也具有广泛的价值。

设 \( f(x) \) 是定义在区间 \([a, b]\) 上的连续函数，并假设 \( g(x) \) 为单调递减且非负的函数。我们希望证明如下形式的结论：

\[

\int_a^b f(x)g(x)\,dx = f(\xi)\int_a^\xi g(x)\,dx + f(\eta)\int_\xi^b g(x)\,dx,

\]

其中 \( \xi, \eta \in [a, b] \) 且满足某些约束条件。

定理证明

步骤一：构造辅助函数

为了便于讨论，我们引入辅助函数 \( F(x) \)，定义为：

\[

F(x) = \int_a^x f(t)g(t)\,dt.

\]

显然，\( F(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续可导，其导数为：

\[

F'(x) = f(x)g(x).

\]

注意到 \( g(x) \geq 0 \) 且单调递减，因此 \( F(x) \) 的增长速度受到 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 的共同影响。

步骤二：利用分段积分的思想

根据分段积分的基本思想，我们将积分区间 \([a, b]\) 分成两部分，即 \([a, \xi]\) 和 \([\xi, b]\)，其中 \( \xi \in (a, b) \) 是待确定的点。于是有：

\[

\int_a^b f(x)g(x)\,dx = \int_a^\xi f(x)g(x)\,dx + \int_\xi^b f(x)g(x)\,dx.

\]

接下来，我们将每项单独处理。

步骤三：引入中值点

对于第一个积分 \(\int_a^\xi f(x)g(x)\,dx\)，由于 \( g(x) \) 单调递减且非负，我们可以利用积分中值定理，找到一个点 \( \xi_1 \in [a, \xi] \)，使得：

\[

\int_a^\xi f(x)g(x)\,dx = f(\xi_1) \int_a^\xi g(x)\,dx.

\]

类似地，对于第二个积分 \(\int_\xi^b f(x)g(x)\,dx\)，同样存在一个点 \( \xi_2 \in [\xi, b] \)，使得：

\[

\int_\xi^b f(x)g(x)\,dx = f(\xi_2) \int_\xi^b g(x)\,dx.

\]

步骤四：合并结果并验证

将上述两部分结果合并后，得到：

\[

\int_a^b f(x)g(x)\,dx = f(\xi_1) \int_a^\xi g(x)\,dx + f(\xi_2) \int_\xi^b g(x)\,dx.

\]

令 \( \xi = \xi_1 \) 且 \( \eta = \xi_2 \)，即可完成证明。

结论

通过以上推导，我们成功证明了第二积分中值定理。该定理表明，在适当的条件下，函数的积分可以通过选取区间内的两个特殊点来表达，从而为更复杂的积分计算提供了新的视角。

希望这篇简明扼要的证明能够帮助读者更好地理解第二积分中值定理的核心思想及其背后的逻辑结构。