让我们具体来看题目中的例子：\( \tan x - \sin x \) 与 \( x^k \) 在 \( x \to 0 \) 时是否为同阶无穷小。为了判断这一点，我们需要计算这两个表达式的比值的极限：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^k}
\]
首先，我们利用泰勒展开式来近似 \( \tan x \) 和 \( \sin x \) 在 \( x = 0 \) 附近的表达式：
- \( \tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5) \)
- \( \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \)
因此，\( \tan x - \sin x \) 的展开式为：
\[
\tan x - \sin x = \left( x + \frac{x^3}{3} \right) - \left( x - \frac{x^3}{6} \right) + O(x^5) = \frac{x^3}{2} + O(x^5)
\]
接下来，我们将这个结果代入比值中：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^k} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2} + O(x^5)}{x^k}
\]
简化后得到：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{x^k} + \lim_{x \to 0} \frac{O(x^5)}{x^k}
\]
第一个极限为：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{2x^k} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} x^{3-k}
\]
第二个极限为高阶无穷小，其值趋于零。因此，整个表达式的极限取决于 \( x^{3-k} \) 的行为：
- 如果 \( 3 - k = 0 \)，即 \( k = 3 \)，则极限为 \( \frac{1}{2} \)，说明两者是同阶无穷小。
- 如果 \( 3 - k > 0 \)，则极限为零，说明 \( x^k \) 是更高阶的无穷小。
- 如果 \( 3 - k < 0 \)，则极限为无穷大，说明 \( x^k \) 是更低阶的无穷小。
综上所述，当 \( k = 3 \) 时，\( \tan x - \sin x \) 与 \( x^k \) 是同阶无穷小。
