在数学中，当我们提到“八分之一的二分之一次方”时，实际上是在探讨一个数的平方根问题。八分之一可以写作 \( \frac{1}{8} \)，而它的二分之一次方意味着求这个数值的平方根。

步骤一：理解分数与指数的关系

首先，我们需要明白分数指数的意义。对于任何正数 \( a \) 和分数 \( m/n \)，\( a^{m/n} \) 等价于 \( (a^m)^{1/n} \) 或者 \( (a^{1/n})^m \)。在这里，我们处理的是 \( (\frac{1}{8})^{1/2} \)，即寻找 \( \frac{1}{8} \) 的平方根。

步骤二：计算平方根

我们知道 \( 8 = 2^3 \)，因此 \( \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} \)。根据指数规则，\( (2^{-3})^{1/2} = 2^{-3/2} \)。进一步简化，\( 2^{-3/2} = \frac{1}{\sqrt{2^3}} = \frac{1}{\sqrt{8}} \)。

步骤三：简化结果

为了得到更直观的结果，我们可以继续简化 \( \frac{1}{\sqrt{8}} \)。注意到 \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \)，所以 \( \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \)。为了使分母有理化，我们将分子和分母同时乘以 \( \sqrt{2} \)，得到 \( \frac{\sqrt{2}}{4} \)。

最终答案：

八分之一的二分之一次方等于 \( \frac{\sqrt{2}}{4} \)。这一过程展示了如何通过分解基数和应用指数法则来解决这类问题。