在数学领域中，向量的运算是一个重要的组成部分，而向量之间的乘法更是研究几何与物理问题的关键工具。当我们讨论向量相乘时，通常指的是两种主要的乘法形式：点积（内积）和叉积（外积）。这两种乘法方式虽然名称相似，但其定义、计算方法以及应用场景却大不相同。

首先，让我们探讨点积的坐标公式。假设我们有两个三维空间中的向量 \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\)，那么它们的点积可以通过以下公式计算：

\[

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

\]

点积的结果是一个标量值，它反映了两个向量之间的方向关系。具体来说，如果点积为正，则说明两个向量大致指向同一方向；若为负，则表明它们倾向于相反方向；而当点积为零时，则意味着两向量垂直。

接着，我们来看叉积的坐标公式。同样以三维空间为例，给定两个向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)，它们的叉积 \(\vec{a} \times \vec{b}\) 可以通过行列式的方式表示：

\[

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3

\end{vmatrix}

\]

其中，\(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 分别代表单位向量 \((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\)。展开后得到的结果是一个新的向量，该向量的方向遵循右手定则，并且其模长等于由这两个向量所张成平行四边形的面积。

值得注意的是，尽管点积和叉积都涉及向量的坐标信息，但它们的应用场景截然不同。点积常用于判断角度或投影问题，而叉积则更多地出现在求解面积、体积或者旋转等几何问题中。

总之，在处理向量相乘的问题时，我们需要根据实际需求选择合适的乘法类型，并熟练掌握相应的坐标公式。这不仅有助于解决具体的数学问题，还能为我们理解更复杂的科学现象提供有力的支持。

希望这篇文章能满足您的需求！如果有任何进一步的要求，请随时告知。