在概率论和统计学中，随机变量是描述随机现象的一种数学工具。它将实验结果映射为数值，从而使得我们能够通过数学方法来分析这些结果。而随机变量的两个重要特性——期望和方差，则为我们提供了关于随机变量行为的深刻洞察。

首先，让我们谈谈期望。随机变量的期望可以被理解为其“平均值”，但它并非传统意义上的算术平均数。期望实际上是所有可能取值与其对应概率乘积的总和。简单来说，如果重复进行多次相同的试验，那么随机变量的期望就是这些试验结果的长期平均值。期望值可以帮助我们预测一个随机事件的中心位置或典型值。例如，在掷骰子游戏中，每个面出现的概率相同，因此其期望值就是（1+2+3+4+5+6）/6=3.5。这个值告诉我们，尽管每次掷出的结果可能是1到6之间的任何一个数字，但从长远来看，平均每次的结果会接近于3.5。

接下来是方差。方差衡量的是随机变量的取值相对于其期望值的离散程度。换句话说，它反映了数据点围绕着期望值分布的情况。方差越大，表示数据点越分散；反之，方差越小，则意味着数据点更集中。计算方差时，需要先求出每个可能取值与期望值之差的平方，并将其乘以相应的概率后求和。方差的平方根被称为标准差，它以相同的单位度量了随机变量的变化幅度。例如，在股票市场中，某只股票的日收益率可能具有较高的方差，这表明该股票的价格波动较大，投资风险也较高。

期望和方差之间的关系密不可分。一方面，方差依赖于期望的存在，因为它是基于期望值来定义的；另一方面，两者共同构成了对随机变量完整特性的刻画。通过分析期望和方差，我们可以更好地理解和预测随机现象的行为模式，进而做出更加合理的决策。

总之，随机变量的期望与方差不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也发挥着至关重要的作用。它们帮助我们量化不确定性，并为风险管理、数据分析等领域提供了坚实的理论基础。因此，深入理解这两个概念对于掌握概率论和统计学的基本原理至关重要。