在数学领域中，平面向量是一个非常重要的概念，它广泛应用于几何学、物理学以及工程学等领域。为了帮助大家更好地理解和掌握平面向量的相关知识，本文将系统地整理并总结平面向量的所有相关公式。
一、基本定义与性质
1. 向量的表示
平面向量通常用带箭头的字母（如$\vec{a}$）或坐标形式$(x, y)$来表示。其中，$x$和$y$分别是向量在$x$轴和$y$轴上的分量。
2. 零向量
零向量记为$\vec{0}=(0, 0)$，其长度为0，方向任意。
3. 单位向量
对于非零向量$\vec{a}=(x, y)$，其对应的单位向量为：
$$
\hat{a} = \frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|} = \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)
$$
4. 向量的加法与减法
设$\vec{a}=(x_1, y_1)$，$\vec{b}=(x_2, y_2)$，则：
- 加法：$\vec{a} + \vec{b} = (x_1+x_2, y_1+y_2)$
- 减法：$\vec{a} - \vec{b} = (x_1-x_2, y_1-y_2)$
5. 数乘运算
若$k$为实数，则$k\vec{a} = (kx, ky)$。
二、向量的模与夹角
6. 向量的模（长度）
向量$\vec{a}=(x, y)$的模定义为：
$$
\|\vec{a}\| = \sqrt{x^2 + y^2}
$$
7. 向量的夹角公式
若$\vec{a}=(x_1, y_1)$，$\vec{b}=(x_2, y_2)$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$之间的夹角$\theta$满足：
$$
\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}
$$
其中，$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$为向量的点积。
8. 垂直与平行条件
- 若$\vec{a} \perp \vec{b}$，则$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$；
- 若$\vec{a} \parallel \vec{b}$，则存在实数$k$使得$\vec{a} = k\vec{b}$。
三、向量的运算性质
9. 交换律
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
10. 结合律
$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
11. 分配律
$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
12. 点积的性质
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$（交换性）；
- $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$；
- $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$。
四、重要定理与推论
13. 三角形法则
在平面几何中，若$\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$，则$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$构成一个封闭的三角形。
14. 平行四边形法则
若$\vec{a}$和$\vec{b}$共起点，则以它们为邻边的平行四边形的对角线分别表示$\vec{a}+\vec{b}$和$\vec{a}-\vec{b}$。
15. 投影公式
向量$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的投影为：
$$
\text{Proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|^2}\vec{b}.
$$
以上便是平面向量的主要公式总结。通过这些公式的学习，我们可以更加灵活地解决与向量相关的各类问题。希望本文能够帮助读者加深对平面向量的理解，并在实际应用中发挥重要作用！
