在数学分析中，不定积分是求解函数原函数的过程。今天我们将探讨一个有趣的不定积分问题：1 / (1 + sin(x)) 的不定积分。
一、问题引入
假设我们要求解如下不定积分：
\[
I = \int \frac{1}{1 + \sin(x)} \, dx
\]
这个积分看似简单，但实际上需要一些技巧来简化处理。我们希望通过一系列变换和代数操作将其转化为更容易求解的形式。
二、化简与变形
首先，为了消除三角函数的复杂性，我们可以利用一个常见的恒等式：
\[
1 + \sin(x) = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
\]
这一公式的推导基于半角公式：
\[
\sin(x) = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right), \quad \text{且} \quad 1 = \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{x}{2}\right).
\]
因此，可以将分母 \(1 + \sin(x)\) 替换为 \(\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)\)，从而得到：
\[
I = \int \frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)} \, dx.
\]
注意到 \(\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}\) 等价于 \(\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)\)，所以积分变为：
\[
I = \int \sec^2\left(\frac{x}{2}\right) \, dx.
\]
三、变量替换
接下来，设 \(u = \frac{x}{2}\)，则 \(du = \frac{1}{2} dx\)，即 \(dx = 2 du\)。代入后，积分形式变为：
\[
I = \int 2 \sec^2(u) \, du.
\]
这是一个标准的积分形式，我们知道：
\[
\int \sec^2(u) \, du = \tan(u) + C,
\]
其中 \(C\) 是积分常数。因此：
\[
I = 2 \tan(u) + C.
\]
再将 \(u = \frac{x}{2}\) 替换回去，得到最终结果：
\[
I = 2 \tan\left(\frac{x}{2}\right) + C.
\]
四、总结
通过上述步骤，我们成功求解了不定积分 \(\int \frac{1}{1 + \sin(x)} \, dx\)，其结果为：
\[
\boxed{\int \frac{1}{1 + \sin(x)} \, dx = 2 \tan\left(\frac{x}{2}\right) + C.}
\]
这种方法结合了三角函数恒等式和变量替换技巧，展示了数学分析中的灵活性与系统性。希望这篇解析能够帮助读者更好地理解此类积分问题！
