【等比数列的性质】等比数列是数列中一种重要的类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为公比。在学习等比数列的过程中，掌握其基本性质对于理解数列的变化规律、解决实际问题具有重要意义。以下是对等比数列主要性质的总结。
一、等比数列的基本定义
设一个数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，若满足：
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = r \quad (r \neq 0)
$$
其中 $ r $ 是常数，则称该数列为等比数列，$ r $ 称为公比。
二、等比数列的性质总结
| 序号 | 性质名称 | 内容描述 | ||
| 1 | 公比恒定性 | 每一项与前一项的比值恒等于公比 $ r $。 | ||
| 2 | 通项公式 | 第 $ n $ 项为 $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $。 | ||
| 3 | 等比中项 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = ac $，且 $ b = \sqrt{ac} $。 | ||
| 4 | 前 $ n $ 项和 | 当 $ r \neq 1 $ 时，前 $ n $ 项和为 $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $。 | ||
| 5 | 极限情况 | 当 $ | r | < 1 $ 时，无穷等比数列的和为 $ S = \frac{a_1}{1 - r} $。 |
| 6 | 数列单调性 | 若 $ r > 1 $，则数列递增；若 $ 0 < r < 1 $，则数列递减；若 $ r < 0 $，则数列摆动。 | ||
| 7 | 乘积性质 | 若 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 成等比数列，则任意两项的乘积与中间项有关。 |
三、应用举例
例如：数列 $ 2, 6, 18, 54, 162 $ 是等比数列，首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ r = 3 $。
- 通项公式：$ a_n = 2 \cdot 3^{n-1} $
- 第 5 项：$ a_5 = 2 \cdot 3^4 = 162 $
- 前 4 项和：$ S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-80}{-2} = 80 $
四、总结
等比数列虽然形式简单，但其性质丰富，广泛应用于数学、物理、经济等领域。掌握这些性质有助于更深入地理解数列的结构与变化规律，提高解题效率和逻辑思维能力。通过不断练习和应用，可以更好地掌握等比数列的相关知识。
