【当总体服从正态分布时,样本均值的标准差为( )。】在统计学中，当我们从一个总体中抽取样本，并计算样本均值时，样本均值本身也是一个随机变量。它的分布被称为抽样分布。当总体服从正态分布时，样本均值的分布也服从正态分布。
样本均值的标准差，通常称为标准误差（Standard Error, SE），它是衡量样本均值围绕总体均值波动程度的一个指标。标准误差的大小与总体标准差和样本容量有关。
一、基本概念总结
| 概念 | 定义 |
| 总体 | 研究对象的全部个体 |
| 样本 | 从总体中抽取的一部分个体 |
| 样本均值 | 样本中所有观察值的平均值 |
| 标准差 | 数据偏离均值的程度，衡量数据的离散程度 |
| 标准误差（SE） | 样本均值的标准差，反映样本均值的波动性 |
二、当总体服从正态分布时，样本均值的标准差公式
如果总体服从正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $，则样本均值 $ \bar{X} $ 的分布也为正态分布，记作：
$$
\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)
$$
其中：
- $ \mu $ 是总体均值；
- $ \sigma $ 是总体标准差；
- $ n $ 是样本容量。
因此，样本均值的标准差（即标准误差）为：
$$
\text{标准误差} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
三、关键结论
| 条件 | 结论 |
| 总体服从正态分布 | 样本均值服从正态分布 |
| 样本均值的方差 | $ \frac{\sigma^2}{n} $ |
| 样本均值的标准差 | $ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $ |
| 标准差与样本容量关系 | 随着样本容量 $ n $ 增大，标准差减小 |
四、示例说明
假设某地区居民的身高服从正态分布，总体均值为 $ \mu = 170 $ cm，总体标准差为 $ \sigma = 5 $ cm。若我们从该总体中随机抽取一个容量为 $ n = 25 $ 的样本，则样本均值的标准差为：
$$
\frac{5}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1 \text{ cm}
$$
这表明，样本均值大约在 $ 170 \pm 1 $ cm 范围内波动的概率较高。
五、总结
当总体服从正态分布时，样本均值的标准差为 总体标准差除以样本容量的平方根，即：
$$
\boxed{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}
$$
这是统计推断中的一个重要概念，常用于构建置信区间和进行假设检验。理解这一公式有助于更准确地分析和解释统计结果。
