【最新概率论与数理统计公式汇总】在学习和研究概率论与数理统计的过程中，掌握各类基本公式是理解理论、解决实际问题的关键。本文将对概率论与数理统计中常用的公式进行系统整理，帮助读者快速查阅、复习或应用。
一、基本概念与定义
1. 概率的定义
设样本空间为 $ S $，事件 $ A \subseteq S $，则事件 $ A $ 发生的概率为：
$$
P(A) = \frac{\text{有利结果数}}{\text{总结果数}}
$$
当样本空间为连续时，概率可通过概率密度函数（PDF）计算。
2. 条件概率
事件 $ B $ 发生的条件下，事件 $ A $ 发生的概率为：
$$
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad \text{其中 } P(B) > 0
$$
3. 全概率公式
若事件 $ B_1, B_2, \dots, B_n $ 构成一个完备事件组，则对任意事件 $ A $，有：
$$
P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i)
$$
4. 贝叶斯公式
在已知事件 $ A $ 发生的条件下，求事件 $ B_i $ 的概率：
$$
P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A|B_j)P(B_j)}
$$
二、随机变量及其分布
1. 离散型随机变量
- 概率质量函数（PMF）：$ P(X = x_k) = p_k $
- 数学期望：$ E(X) = \sum_{k} x_k p_k $
- 方差：$ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $
2. 连续型随机变量
- 概率密度函数（PDF）：$ f(x) $
- 分布函数：$ F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt $
- 数学期望：$ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $
- 方差：$ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $
3. 常见分布
- 二项分布：$ X \sim B(n, p) $，$ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $
- 泊松分布：$ X \sim \text{Poisson}(\lambda) $，$ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $
- 正态分布：$ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，PDF：$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $
- 均匀分布：$ X \sim U(a, b) $，PDF：$ f(x) = \frac{1}{b-a} $，$ a \leq x \leq b $
三、多维随机变量
1. 联合分布
对于二维随机变量 $ (X, Y) $，其联合概率分布为：
$$
P(X = x_i, Y = y_j) = p_{ij}
$$
2. 边缘分布
- $ P(X = x_i) = \sum_j p_{ij} $
- $ P(Y = y_j) = \sum_i p_{ij} $
3. 协方差与相关系数
- 协方差：$ \text{Cov}(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] $
- 相关系数：$ \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} $
四、大数定律与中心极限定理
1. 切比雪夫不等式
对任意随机变量 $ X $，有：
$$
P(|X - E(X)| \geq \epsilon) \leq \frac{D(X)}{\epsilon^2}
$$
2. 大数定律（辛钦定理）
若 $ X_1, X_2, \dots, X_n $ 是独立同分布的随机变量，且 $ E(X_i) = \mu $，则：
$$
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \xrightarrow{P} \mu
$$
3. 中心极限定理
若 $ X_1, X_2, \dots, X_n $ 是独立同分布的随机变量，且 $ E(X_i) = \mu $，$ D(X_i) = \sigma^2 $，则当 $ n \to \infty $ 时：
$$
\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)
$$
五、统计推断基础
1. 点估计
- 矩估计法：用样本矩估计总体矩
- 最大似然估计法：最大化似然函数
2. 区间估计
对总体均值 $ \mu $ 的置信区间：
$$
\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
（当 $ \sigma $ 已知时）
3. 假设检验
- 原假设 $ H_0 $ 与备择假设 $ H_1 $
- 显著性水平 $ \alpha $，拒绝域与接受域
六、常用统计量
- 样本均值：$ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $
- 样本方差：$ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $
- 样本标准差：$ s = \sqrt{s^2} $
结语
概率论与数理统计是现代科学与工程中不可或缺的工具，掌握这些公式不仅有助于理论学习，也能在实际数据分析、机器学习、金融建模等领域发挥重要作用。希望本文能为您的学习和研究提供参考与帮助。
