【复数练习题大题】在数学学习中，复数是一个重要的知识点，尤其在高中阶段的数学课程中占据着不可忽视的地位。复数不仅与代数、几何紧密相关，还在物理、工程等实际问题中有着广泛的应用。因此，掌握复数的相关概念和运算方法，是提高数学综合能力的重要途径。
“复数练习题大题”作为一份针对复数知识的综合训练材料，旨在帮助学生巩固基础知识，提升解题技巧，并为考试做好充分准备。以下是一些典型的复数大题及其解析，供同学们参考和练习。
一、复数的基本概念与运算
题目1：
已知复数 $ z = 1 + i $，求 $ z^2 $ 和 $ \frac{1}{z} $ 的值。
解析：
首先计算 $ z^2 $：
$$
z^2 = (1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i
$$
再计算 $ \frac{1}{z} $，可以将分子分母同时乘以 $ z $ 的共轭复数 $ 1 - i $：
$$
\frac{1}{z} = \frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - i}{1^2 - i^2} = \frac{1 - i}{1 + 1} = \frac{1 - i}{2}
$$
二、复数的几何意义
题目2：
设复数 $ z_1 = 3 + 4i $，$ z_2 = -1 + 2i $，求 $ |z_1 - z_2| $ 的值，并说明其几何意义。
解析：
先计算 $ z_1 - z_2 $：
$$
z_1 - z_2 = (3 + 4i) - (-1 + 2i) = 3 + 4i + 1 - 2i = 4 + 2i
$$
然后计算模长：
$$
|z_1 - z_2| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
$$
几何意义：
复数 $ z_1 $ 和 $ z_2 $ 在复平面上分别对应点 $ A(3, 4) $ 和 $ B(-1, 2) $，它们之间的距离即为 $ |z_1 - z_2| $，表示两点之间的线段长度。
三、复数的极坐标形式与三角形式
题目3：
将复数 $ z = -\sqrt{3} - i $ 化为极坐标形式，并求其辐角主值。
解析：
首先计算模长：
$$
|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2
$$
再求辐角 $ \theta $：
由于 $ z $ 位于第三象限（实部和虚部均为负），所以：
$$
\tan \theta = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \theta = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}
$$
但由于在第三象限，所以：
$$
\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}
$$
因此，极坐标形式为：
$$
z = 2 \left( \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6} \right)
$$
四、复数方程与根的求解
题目4：
解方程 $ x^2 + 2x + 5 = 0 $。
解析：
使用求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中 $ a = 1 $，$ b = 2 $，$ c = 5 $，代入得：
$$
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i
$$
因此，方程的两个根为 $ x = -1 + 2i $ 和 $ x = -1 - 2i $。
五、综合应用题
题目5：
设复数 $ z $ 满足 $ |z| = 2 $，且 $ z $ 在复平面上对应的点在第一象限，若 $ z $ 与实轴夹角为 $ 60^\circ $，求 $ z $ 的表达式，并计算 $ z^3 $。
解析：
由条件可知，$ z $ 的模为 2，辐角为 $ 60^\circ = \frac{\pi}{3} $，所以：
$$
z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 + i\sqrt{3}
$$
再计算 $ z^3 $：
利用德莫弗定理：
$$
z^3 = 2^3 \left( \cos \left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) \right) = 8 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = 8(-1 + 0i) = -8
$$
通过以上练习题的训练，可以帮助学生深入理解复数的概念、运算以及几何意义，同时提高解决复杂问题的能力。建议在做题过程中注重步骤的清晰性与逻辑性，逐步培养数学思维习惯。
