【高等数学公式】高等数学是大学阶段理工科学生必修的一门基础课程，其内容涵盖函数、极限、导数、积分、级数、微分方程等多个方面。掌握这些基本的数学公式对于理解数学理论和解决实际问题具有重要意义。以下是对高等数学中常用公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、函数与极限
| 公式 | 说明 |
| $\lim_{x \to a} f(x) = L$ | 当 $x$ 趋近于 $a$ 时，函数 $f(x)$ 的极限为 $L$ |
| $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ | $x$ 趋向于无穷大时，$\frac{1}{x}$ 趋近于 0 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 常见极限公式之一 |
二、导数与微分
| 公式 | 说明 |
| $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ | 导数定义式 |
| $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ | 幂函数求导法则 |
| $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ | 正弦函数导数 |
| $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ | 余弦函数导数 |
| $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ | 自然对数导数 |
三、积分
| 公式 | 说明 | ||
| $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$） | 幂函数积分公式 | ||
| $\int \sin x dx = -\cos x + C$ | 正弦函数积分 | ||
| $\int \cos x dx = \sin x + C$ | 余弦函数积分 | ||
| $\int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C$ | 倒数函数积分 |
| $\int e^x dx = e^x + C$ | 指数函数积分 |
四、不定积分与定积分
| 公式 | 说明 |
| $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ | 牛顿-莱布尼兹公式 |
| $\int u dv = uv - \int v du$ | 分部积分法公式 |
五、泰勒展开与麦克劳林展开
| 公式 | 说明 |
| $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ | 泰勒展开公式 |
| $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ | 麦克劳林展开公式（当 $a=0$） |
| $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ | 指数函数的麦克劳林展开 |
| $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | 正弦函数展开 |
| $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ | 余弦函数展开 |
六、常微分方程
| 公式 | 说明 |
| $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ | 一阶线性微分方程标准形式 |
| $y' + y = e^x$ | 简单的一阶线性方程示例 |
| $y'' + y = 0$ | 二阶齐次线性微分方程（简谐振动） |
七、多元函数微分
| 公式 | 说明 |
| $\frac{\partial f}{\partial x}$ | 函数 $f(x, y)$ 对 $x$ 的偏导数 |
| $\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$ | 梯度向量 |
| $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ | 混合偏导数 |
总结
高等数学中的公式种类繁多，但它们构成了整个学科的基础。通过系统地学习和记忆这些公式，可以更高效地理解和应用数学知识。建议在学习过程中结合实例练习，加深对公式的理解与运用能力。同时，注意区分不同公式的适用条件和使用范围，避免误用导致错误结果。
