【概率论与数理统计课后习题答案 第四】在学习《概率论与数理统计》的过程中，课后习题是巩固知识、理解概念的重要手段。第四章通常涉及随机变量及其分布，包括离散型和连续型随机变量的定义、概率分布函数、期望与方差等内容。以下是对该章节部分典型习题的总结与解答，帮助学生更好地掌握知识点。
一、知识点总结
1. 随机变量的定义
随机变量是一个从样本空间到实数集的映射，用于描述随机现象的结果。
2. 离散型随机变量
取有限或可列无限个值的随机变量，如二项分布、泊松分布等。
3. 连续型随机变量
在某个区间内可以取任意值的随机变量，如正态分布、均匀分布等。
4. 概率分布函数（CDF）
定义为 $ F(x) = P(X \leq x) $，反映随机变量小于等于某值的概率。
5. 数学期望（均值）
表示随机变量的平均取值，计算公式为：
- 离散型：$ E(X) = \sum_{i} x_i P(X = x_i) $
- 连续型：$ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $
6. 方差
衡量随机变量与其均值之间的偏离程度，公式为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
二、典型习题及答案汇总
| 题号 | 题目描述 | 解答 |
| 4-1 | 设随机变量 X 的分布列为：X=0,1,2，对应的概率分别为 0.2, 0.5, 0.3。求 E(X) 和 Var(X)。 | 解：$ E(X) = 0×0.2 + 1×0.5 + 2×0.3 = 1.1 $ $ E(X^2) = 0^2×0.2 + 1^2×0.5 + 2^2×0.3 = 1.7 $ $ \text{Var}(X) = 1.7 - (1.1)^2 = 0.49 $ |
| 4-2 | 设 X 服从参数为 λ 的泊松分布，求 E(X) 和 Var(X)。 | 解：对于泊松分布，$ E(X) = \lambda $，$ \text{Var}(X) = \lambda $ |
| 4-3 | 设 X 服从区间 [a, b] 上的均匀分布，求 E(X) 和 Var(X)。 | 解：$ E(X) = \frac{a + b}{2} $ $ \text{Var}(X) = \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 4-4 | 设 X 是一个二项分布随机变量，参数为 n=10，p=0.3。求 P(X=3)。 | 解：$ P(X=3) = C(10,3) × (0.3)^3 × (0.7)^7 ≈ 0.2668 $ |
| 4-5 | 设 X 服从标准正态分布 N(0,1)，求 P(-1 < X < 1)。 | 解：查表得 $ P(-1 < X < 1) ≈ 0.6827 $ |
三、学习建议
1. 理解基本概念：掌握随机变量、分布函数、期望与方差的定义和性质。
2. 熟练计算：通过大量练习提高对常见分布（如二项、泊松、正态等）的计算能力。
3. 注重图形辅助：利用概率密度函数图或分布函数图来直观理解随机变量的行为。
4. 结合实际问题：尝试将理论知识应用到实际案例中，增强理解和记忆。
通过系统地复习和练习，能够更深入地掌握《概率论与数理统计》的核心内容，为后续课程打下坚实基础。希望以上总结能对你的学习有所帮助。
