【极限运算的七个公式】在高等数学中，极限是研究函数变化趋势的重要工具，广泛应用于微积分、数列分析和函数性质的研究中。掌握常见的极限运算公式，有助于快速求解复杂问题。以下是极限运算中常用的七个基本公式，结合实例进行说明，并以表格形式总结。

一、极限运算的七个公式

1. 常数极限公式

当 $ x \to a $ 时，$ \lim_{x \to a} C = C $（其中 $ C $ 为常数）

示例：$ \lim_{x \to 2} 5 = 5 $

2. 变量极限公式

当 $ x \to a $ 时，$ \lim_{x \to a} x = a $

示例：$ \lim_{x \to 3} x = 3 $

3. 四则运算法则

若 $ \lim_{x \to a} f(x) = L $，$ \lim_{x \to a} g(x) = M $，则：

- $ \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M $

- $ \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M $

- $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} $（当 $ M \neq 0 $）

示例：$ \lim_{x \to 1} (x^2 + 2x) = 1^2 + 2 \cdot 1 = 3 $

4. 夹逼定理（三明治定理）

若 $ f(x) \leq g(x) \leq h(x) $，且 $ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L $，则 $ \lim_{x \to a} g(x) = L $

示例：$ \lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 $，因为 $ -x \leq x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x $

5. 重要极限公式一

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $

示例：$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2 $

6. 重要极限公式二

$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $

示例：$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} = 3 $

7. 无穷小量与无穷大量关系

若 $ \lim_{x \to a} f(x) = 0 $，$ \lim_{x \to a} g(x) = \infty $，则 $ \lim_{x \to a} f(x) \cdot g(x) $ 可能为有限值、0 或无穷大，需进一步分析

示例：$ \lim_{x \to 0} x \cdot \frac{1}{x} = 1 $；$ \lim_{x \to 0} x \cdot \frac{1}{x^2} = \infty $

二、总结表格

通过熟练掌握这些极限公式，可以更高效地解决实际问题，尤其在处理复合函数、三角函数、指数函数等复杂表达式时具有重要意义。建议在学习过程中多做练习，加深对极限概念的理解。