点积（内积）的坐标表示

假设我们有两个三维向量 \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\)，它们的点积定义为：

\[

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

\]

这个公式的意义在于它返回一个标量值，表示两个向量之间的相似性。如果点积的结果为零，则说明这两个向量相互垂直。

叉积（外积）的坐标表示

对于叉积，其结果是一个新的向量，且该向量垂直于原来的两个向量所在的平面。设 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 仍是上述的三维向量，那么它们的叉积 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 的坐标形式为：

\[

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)

\]

这里，\(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 分别代表单位向量 \((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\)。叉积的方向遵循右手定则。

应用场景

- 点积常用于计算角度、投影等问题。

- 叉积则广泛应用于物理中的力矩计算、计算机图形学中的法线方向确定等领域。

通过理解并熟练掌握这两个公式的应用，能够帮助我们在解决实际问题时更加得心应手。希望以上内容对你有所帮助！