线性代数作为数学领域的重要分支，是理工科学生必须掌握的基础学科之一。本篇内容旨在为学习者提供一份详尽的期末考试参考答案，帮助大家更好地理解线性代数的核心概念与解题技巧。
在本次考试中，我们涵盖了向量空间、矩阵运算、特征值与特征向量等关键知识点。以下是对部分试题的详细解答过程：
第一部分：选择题
1. 题目描述：设矩阵A为3×3阶方阵，若det(A) = 0，则下列说法正确的是？
- A. 矩阵A可逆
- B. 向量组线性相关
- C. 系统Ax=0有唯一解
- D. 矩阵A的秩等于3
解析：根据行列式性质，当det(A) = 0时，矩阵A不可逆且其秩小于3。因此，选项B正确，因为向量组线性相关。
2. 题目描述：已知向量组α₁, α₂, α₃线性无关，下列哪个向量组也一定线性无关？
- A. α₁ + α₂, α₂ + α₃, α₁ + α₃
- B. 2α₁, 3α₂, 4α₃
- C. α₁ - α₂, α₂ - α₃, α₃ - α₁
- D. α₁ + α₂, α₂ + α₃, α₁ + α₂ + α₃
解析：选项B中的向量组显然也是线性无关的，因为它们只是原向量组的常数倍。
第二部分：计算题
1. 题目描述：求矩阵A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} 的逆矩阵。
解答：
首先计算矩阵A的行列式 det(A) = (1 × 4) - (2 × 3) = -2。
根据公式 \( A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A) \)，其中adj(A)为伴随矩阵。
因此，
\[
A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}.
\]
2. 题目描述：求向量组 {v₁, v₂, v₃} = {(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)} 的秩。
解答：通过构造增广矩阵并进行初等行变换，可以得出该向量组的秩为2。
第三部分：证明题
题目描述：证明：如果矩阵A和B均为n阶对称矩阵，则AB也为对称矩阵。
证明：由题意知，A和B满足\( A^T = A \)以及\( B^T = B \)。于是，
\[
(AB)^T = B^T A^T = BA.
\]
由于矩阵乘法不满足交换律，一般情况下\( AB \neq BA \)，所以\( AB \)不是对称矩阵。这一结论表明原命题错误。
以上就是本次考试的部分参考答案及解析，希望对同学们的学习有所帮助。在备考过程中，建议多加练习典型例题，并结合实际应用场景加深理解。祝大家取得优异的成绩！
