在学习高等代数的过程中，行列式是理解线性代数体系的重要基础之一。第二章主要围绕行列式的定义、性质及其计算方法展开，通过一系列课外习题的练习，可以帮助学生进一步巩固所学知识，提升解题能力。
本章内容不仅包括行列式的初步概念，如n阶行列式的定义和基本运算规则，还涉及行列式的展开定理、行列式的性质（如对称性、反对称性、行列式与矩阵乘法的关系等），以及如何利用这些性质简化复杂的计算过程。此外，一些典型例题还涉及到行列式的应用，比如用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组的解等。
为了帮助同学们更好地掌握这一部分内容，以下是一些典型的课外练习题，涵盖不同难度层次，适合课后复习和自主练习：
一、基础题
1. 计算下列三阶行列式：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix}
$$
2. 已知四阶行列式：
$$
D = \begin{vmatrix}
a & b & c & d \\
e & f & g & h \\
i & j & k & l \\
m & n & o & p
\end{vmatrix}
$$
若将第一行与第三行交换，得到新行列式 $ D' $，则 $ D' = ? $
二、提高题
3. 设矩阵 $ A = (a_{ij}) $ 是一个 $ n \times n $ 的矩阵，且满足 $ a_{ij} = 0 $ 当 $ i + j $ 为奇数，其余元素均为 1。试求该矩阵的行列式值。
4. 已知行列式：
$$
D = \begin{vmatrix}
x & 1 & 1 \\
1 & x & 1 \\
1 & 1 & x
\end{vmatrix}
$$
求其关于 $ x $ 的表达式，并讨论当 $ x $ 取何值时行列式为零。
三、综合题
5. 设 $ A $ 是一个 $ 3 \times 3 $ 矩阵，其行列式为 $ \det(A) = 2 $。若将 $ A $ 的第1行乘以 3，第2行乘以 -1，第3行保持不变，得到新的矩阵 $ B $，求 $ \det(B) $。
6. 证明：若一个 $ n \times n $ 矩阵 $ A $ 的所有主对角线元素为零，且非对角线元素全为 1，则该矩阵的行列式为 $ (-1)^{n-1}(n-1) $。
四、拓展思考题
7. 考虑一个 $ n \times n $ 的矩阵 $ M $，其中每个元素 $ m_{ij} = i + j $。试求该矩阵的行列式值，并分析其是否为奇异矩阵。
8. 假设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的矩阵，且 $ A^T = A $（即对称矩阵）。若 $ \det(A) = 0 $，说明什么？是否存在非零向量 $ \mathbf{x} $ 使得 $ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $？
总结
通过对第二章“行列式”相关习题的练习，不仅可以加深对行列式基本概念的理解，还能培养逻辑推理能力和计算技巧。建议同学们在做题过程中注重总结规律，理解每一步推导的意义，而不是单纯依赖公式套用。同时，结合教材中的例题和讲解，逐步提升自己的数学思维能力，为后续学习线性方程组、特征值等内容打下坚实的基础。
希望这份习题集能为你的学习提供帮助，也欢迎你提出更多问题，一起探讨高等代数的奥秘！
