【精品（拟合优度检验例题）】在统计学中，拟合优度检验是一种用于判断实际观测数据与理论分布之间是否一致的常用方法。它常用于验证样本数据是否符合某种特定的概率分布，例如正态分布、二项分布或泊松分布等。本文将通过一个具体的例题，详细讲解拟合优度检验的基本步骤和应用过程，帮助读者更好地理解这一统计工具。
一、什么是拟合优度检验？
拟合优度检验（Goodness of Fit Test）是基于卡方（χ²）统计量的一种假设检验方法，用于检验样本数据是否符合某个理论分布。其核心思想是：通过比较观察频数与期望频数之间的差异，来判断两者之间的差距是否具有统计显著性。
二、拟合优度检验的步骤
1. 提出假设
- 原假设 $ H_0 $：样本数据服从某理论分布。
- 备择假设 $ H_1 $：样本数据不服从该理论分布。
2. 计算期望频数
根据理论分布计算每个类别的期望频数。
3. 计算卡方统计量
公式为：
$$
\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}
$$
其中，$ O_i $ 是第 $ i $ 类别的实际观测频数，$ E_i $ 是对应的期望频数。
4. 确定显著性水平和临界值
根据自由度 $ df = k - 1 - m $（其中 $ k $ 为类别数，$ m $ 为估计参数的个数）查找卡方分布表，确定临界值。
5. 做出统计决策
如果计算出的卡方统计量大于临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设。
三、例题分析
题目：
某学校对学生的考试成绩进行分类统计，结果如下：
| 成绩等级 | 观测频数 |
|----------|----------|
| A| 15 |
| B| 30 |
| C| 40 |
| D| 10 |
| F| 5|
假设该学校认为学生分数应服从正态分布，且根据以往经验，成绩分布应为 A: 10%，B: 25%，C: 40%，D: 15%，F: 10%。试用拟合优度检验判断当前成绩是否符合预期分布。
四、解题过程
1. 提出假设
- $ H_0 $：成绩分布符合预期比例。
- $ H_1 $：成绩分布不符合预期比例。
2. 计算总样本数
$$
n = 15 + 30 + 40 + 10 + 5 = 100
$$
3. 计算期望频数
根据预期比例计算各等级的期望频数：
| 成绩等级 | 预期比例 | 期望频数 $ E_i $ |
|----------|-----------|-------------------|
| A| 10% | $ 100 \times 0.10 = 10 $ |
| B| 25% | $ 100 \times 0.25 = 25 $ |
| C| 40% | $ 100 \times 0.40 = 40 $ |
| D| 15% | $ 100 \times 0.15 = 15 $ |
| F| 10% | $ 100 \times 0.10 = 10 $ |
4. 计算卡方统计量
$$
\chi^2 = \frac{(15-10)^2}{10} + \frac{(30-25)^2}{25} + \frac{(40-40)^2}{40} + \frac{(10-15)^2}{15} + \frac{(5-10)^2}{10}
$$
$$
= \frac{25}{10} + \frac{25}{25} + 0 + \frac{25}{15} + \frac{25}{10}
$$
$$
= 2.5 + 1 + 0 + 1.67 + 2.5 = 7.67
$$
5. 确定显著性水平和临界值
取显著性水平 $ \alpha = 0.05 $，自由度 $ df = 5 - 1 = 4 $。
查卡方分布表得临界值为 $ \chi^2_{0.05,4} = 9.488 $。
6. 做出结论
由于计算得到的卡方值 $ \chi^2 = 7.67 < 9.488 $，因此不能拒绝原假设。
结论： 在 5% 的显著性水平下，没有足够的证据表明当前成绩分布与预期分布有显著差异，可以认为成绩分布符合预期比例。
五、总结
拟合优度检验是一种实用的统计方法，能够帮助我们判断实际数据是否符合某种理论分布。通过上述例题可以看出，尽管实际观测值与期望值存在一定的偏差，但只要偏差不大，就不足以推翻原假设。掌握这种方法，有助于我们在实际数据分析中做出更科学的判断。
