【向量叉乘公式】在三维几何和物理中，向量叉乘（也称为矢量积）是一种重要的运算方式，常用于计算两个向量之间的垂直方向、面积、力矩等。叉乘的结果是一个与原向量都垂直的新向量，其方向由右手定则决定，大小则与两个向量的夹角有关。
一、基本概念
- 定义：设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的叉乘结果为 c = a × b。
- 方向：由右手螺旋法则确定，即四指从 a 指向 b，拇指所指方向为 c 的方向。
- 大小：
二、叉乘公式
向量 a × b 的计算公式如下：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\left( a_2b_3 - a_3b_2, \quad a_3b_1 - a_1b_3, \quad a_1b_2 - a_2b_1 \right)
$$
三、叉乘的性质
| 性质 | 描述 |
| 反交换律 | $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}) $ |
| 分配律 | $ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c} $ |
| 零向量 | 若 $ \mathbf{a} $ 与 $ \mathbf{b} $ 平行，则 $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0} $ |
| 与标量相乘 | $ k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b}) $ |
四、应用举例
| 场景 | 应用说明 | ||
| 力矩计算 | $ \mathbf{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} $ | ||
| 面积计算 | 三角形面积为 $ \frac{1}{2} | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | $ |
| 垂直向量 | 若已知两个向量，可求出与其垂直的第三个向量 | ||
| 旋转方向 | 在计算机图形学中用于判断物体旋转方向 |
五、总结
向量叉乘是向量代数中的重要工具，具有明确的数学表达式和丰富的物理意义。通过掌握其公式与性质，可以更高效地解决空间几何、力学分析等问题。理解叉乘的方向与大小关系，有助于深入学习线性代数与物理学的相关内容。
表格总结：
| 项目 | 内容 | ||||||
| 定义 | 向量 a × b 是一个与 a、b 都垂直的向量 | ||||||
| 公式 | $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1) $ | ||||||
| 方向 | 由右手定则决定 | ||||||
| 大小 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta $ | |
| 性质 | 反交换、分配、零向量、与标量结合 | ||||||
| 应用 | 力矩、面积、垂直向量、旋转方向 |
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