【阿氏圆的半径怎么求】在几何学中，"阿氏圆"（Apollonius Circle）是一个经典问题，指的是满足到两个定点距离之比为常数的动点轨迹。这个圆由古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga）提出，因此得名。在实际应用中，阿氏圆的半径是计算该圆位置和大小的重要参数。

一、阿氏圆的基本概念

设平面上有两个定点 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $，若一个动点 $ P(x, y) $ 满足：

$$

\frac{PA}{PB} = k \quad (k > 0, k \neq 1)

$$

则点 $ P $ 的轨迹是一个圆，称为阿氏圆。当 $ k = 1 $ 时，轨迹为线段 $ AB $ 的垂直平分线，不属于圆的范畴。

二、阿氏圆的半径公式

设两定点为 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $，比例常数为 $ k $，则阿氏圆的半径 $ R $ 可以通过以下公式计算：

$$

R = \frac{k \cdot AB}{k^2 - 1}

$$

其中：

- $ AB $ 是两点之间的距离：

$$

$$

三、总结与表格对比

四、示例计算

假设 $ A(0, 0) $，$ B(4, 0) $，且 $ k = 2 $，则：

- $ AB = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 4 $

- $ R = \frac{2 \times 4}{2^2 - 1} = \frac{8}{3} \approx 2.67 $

因此，该阿氏圆的半径约为 2.67。

五、注意事项

- 当 $ k = 1 $ 时，不构成圆，而是线段的垂直平分线；

- 若 $ k < 1 $，圆心位于靠近 $ B $ 的一侧；

- 若 $ k > 1 $，圆心位于靠近 $ A $ 的一侧；

- 圆心的位置也可以通过向量法或坐标法进行推导，但半径的计算相对固定。

通过上述分析可以看出，阿氏圆的半径计算依赖于两点间的距离以及比例常数 $ k $，掌握这一公式有助于解决相关几何问题。

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