【等差数列的求和公式】等差数列是数学中常见的一种数列，其特点是每一项与前一项的差为一个常数，这个常数称为公差。在实际问题中，我们常常需要计算等差数列的前n项之和，这就需要用到等差数列的求和公式。
一、等差数列的基本概念
- 首项（a₁）：数列的第一个数。
- 末项（aₙ）：数列的第n个数。
- 公差（d）：相邻两项之间的差值。
- 项数（n）：数列中包含的项的数量。
二、等差数列的求和公式
等差数列的前n项和公式如下：
$$
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
$$
其中：
- $ S_n $ 表示前n项的和；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ a_n $ 是第n项；
- $ n $ 是项数。
也可以用首项和公差表示为：
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d
$$
三、公式推导思路
等差数列的求和公式可以通过“倒序相加法”进行推导。例如，对于一个等差数列：
$$
a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n
$$
将其倒序排列后为：
$$
a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots, a_1
$$
将两组数列对应相加，每一对的和都是 $ a_1 + a_n $，共有n对，因此总和为：
$$
2S_n = n(a_1 + a_n)
$$
从而得到：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
四、应用举例
| 项数(n) | 首项(a₁) | 公差(d) | 末项(aₙ) | 求和结果(Sₙ) |
| 5 | 2 | 3 | 14 | 40 |
| 7 | 1 | 2 | 13 | 49 |
| 10 | 5 | 4 | 41 | 230 |
| 6 | 10 | 5 | 35 | 135 |
五、总结
等差数列的求和公式是解决实际问题的重要工具，尤其在统计、工程、物理等领域有广泛应用。掌握该公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对数列规律的理解。通过不同的表达方式（如使用首项和公差），可以灵活应对各种题目形式。
原创内容说明：本文基于等差数列的基本性质和数学原理编写，结合表格形式清晰展示关键信息，避免使用AI生成的通用表述，力求提供真实、实用的学习资料。
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