在数学的众多分支中，复变函数与积分变换是工程、物理和应用数学领域中非常重要的工具。它们不仅在理论研究中具有深远意义，也在实际问题的建模与求解中发挥着关键作用。本文将对复变函数与积分变换中的主要公式进行系统整理与归纳，旨在为学习者提供一份清晰、实用的参考资料。
一、复变函数基础
1. 复数的基本概念
- 复数定义：$ z = x + iy $，其中 $ x, y \in \mathbb{R} $，$ i^2 = -1 $
- 模长：$ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} $
- 共轭复数：$ \overline{z} = x - iy $
- 极坐标形式：$ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta} $
2. 复变函数的导数
设 $ f(z) $ 在点 $ z_0 $ 处可导，则其导数定义为：
$$
f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}
$$
若函数在某区域内处处可导，则称为解析函数。
3. Cauchy-Riemann 方程
设 $ f(z) = u(x,y) + iv(x,y) $，则 $ f(z) $ 在某点可导的充要条件是：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
$$
二、复积分
1. 复积分的定义
设 $ f(z) $ 在曲线 $ C $ 上连续，则复积分定义为：
$$
\int_C f(z)\,dz = \int_a^b f(z(t))z'(t)\,dt
$$
其中 $ z(t) $ 是参数方程表示的曲线。
2. Cauchy 积分定理
若 $ f(z) $ 在单连通区域 $ D $ 内解析，且 $ C $ 是 $ D $ 内任意闭合曲线，则：
$$
\oint_C f(z)\,dz = 0
$$
3. Cauchy 积分公式
若 $ f(z) $ 在区域 $ D $ 内解析，且 $ C $ 是包含点 $ z_0 $ 的简单闭合曲线，则：
$$
f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz
$$
三、级数展开
1. Taylor 级数
若 $ f(z) $ 在点 $ z_0 $ 解析，则可以展开为：
$$
f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n
$$
2. Laurent 级数
若 $ f(z) $ 在圆环域 $ 0 < |z - z_0| < R $ 内解析，则可展开为：
$$
f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n
$$
其中系数为：
$$
a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\,dz
$$
四、留数定理
设 $ f(z) $ 在闭合曲线 $ C $ 所围成的区域内有有限个孤立奇点 $ z_1, z_2, \dots, z_n $，则：
$$
\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \text{Res}(f, z_k)
$$
其中，$ \text{Res}(f, z_k) $ 表示 $ f(z) $ 在 $ z_k $ 处的留数。
五、积分变换
1. 傅里叶变换
对于函数 $ f(t) $，其傅里叶变换定义为：
$$
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} dt
$$
逆变换为：
$$
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t} d\omega
$$
2. 拉普拉斯变换
设 $ f(t) $ 在 $ t \geq 0 $ 上有定义，则其拉普拉斯变换为：
$$
F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt
$$
其中 $ s $ 为复变量。
六、常用变换对（简表）
| 函数 $ f(t) $ | 拉普拉斯变换 $ F(s) $ |
|----------------|-------------------------|
| $ 1 $| $ \frac{1}{s} $ |
| $ e^{at} $ | $ \frac{1}{s - a} $ |
| $ \sin(\omega t) $ | $ \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} $ |
| $ \cos(\omega t) $ | $ \frac{s}{s^2 + \omega^2} $ |
七、总结
复变函数与积分变换是现代数学中极为重要的一部分，它们不仅构成了许多物理和工程问题的数学基础，也为解决实际问题提供了强有力的工具。掌握这些公式和方法，有助于深入理解相关领域的理论体系，并提升解决问题的能力。
希望本文能为学习者提供一个系统的复习与参考平台，助力在复变函数与积分变换的学习道路上更进一步。
